[高考数学] 抽象函数的处理技巧

高考范围内有这样一类题目，即给出一抽象函数\(f(x)\)，并通过一系列条件结合奇偶性来帮助我们确定其周期和对称轴。例如给出\(f(x)=f(x+2)\)就表明\(f(x)\)存在周期2，此类题目一般的做法是，通过对已知条件的不断转化，最后构造出周期条件“\(f(x)=f(x+T)\)”和对称轴条件“\(f(a-x)=f(a+x)\)”，然后去解决相关问题。

但实际上，这样的做法比较复杂，特别是2022年新高考1卷中的第12题，它不但涉及到上面所提到的转化过程，而且涉及到抽象函数的导数与奇偶性问题。这里，我们将介绍一种技巧，它能够帮助我们解决这一类问题。

母题

（2022新高考1卷）已知函数\(f(x)\)及其导函数\(f^\prime(x)\)的定义域均为\(\mathbf{R}\)，记\(g(x)=f^\prime(x)\)，若\(\displaystyle f(\frac{3}{2}-2x)\)，\(g(2+x)\)均为偶函数，则

\(\mathrm{A}. f(0)=0\) \(\mathrm{B}. g(-\frac{1}{2})=0\) \(\mathrm{C}. f(-1)=f(4)\) \(\mathrm{D}. g(-1)=g(2)\)

技巧

考虑构造函数 \[f(x)=a\cos (2mx+n)+b，\] 从而 \[g(x)=-2am\sin (2mx+n)，\] 由已知，\(f(\frac{3}{2}-2x)\)为偶函数即 \[ f\left( \frac{3}{2}-2x \right) =a\cos \left( 4mx-3m-n \right) +b \] 为偶函数，显然，必须有 \[ 3m+n=k\pi \text{，}k\in \mathbf{Z}， \] 而\(g(2+x)\)也为偶函数，这表明 \[ g\left( 2+x \right) =-2am\sin \left( 2mx+4m+n \right) \] 是偶函数，从而有 \[ 4m+n=\frac{\pi}{2}+k'\pi \text{，}k'\in \mathbf{Z}, \] 于是综合来看，就有 \[ \begin{align*} \begin{cases} 3m+n=k\pi\\ 4m+n=\frac{\pi}{2}+k'\pi\\ \end{cases}\left( k,k'\in \mathbf{Z} \right) ， \end{align*} \] 解之得 \[ \begin{cases} m=\frac{\pi}{2}+\left( k'-k \right) \pi\\ n=k\pi -\frac{3\pi}{2}-3\left( k'-k \right) \pi\\ \end{cases}\left( k,k'\in \mathbf{Z} \right) ， \] \(k\)和\(k'\)的取值具有任意性，只要满足上面的条件。于是最简单地，令这两个数均为\(0\)，就有\(m=\frac{\pi}{2},n=-\frac{3\pi}{2}\).从而 \[ \begin{align*} &f\left( x \right) =-a\sin \pi x+b\text{，} \\ &g\left( x \right) =-a\pi \cos \pi x\text{，} \end{align*} \] 由此我们可以验证选项。 \(f(0)=b\)，不一定为\(0\)，故A错误； \(g(-\frac{1}{2})=0\)，故B成立； \(f(-1)=b，f(4)=b\)，故C成立； $g(-1)=a，g(2)=-a$，故D错误。 综上，此题选择BC两项。