常用积分常数(一)
这是常用积分常数系列的第一期. 常用积分常数, 指的是对于一些定积分, 其结果收敛于某一个常数, 但是我们不能像 \(\sqrt{2},\displaystyle \frac{4}{3}\) 这样把它表示出来, 但是它们偏偏经常出现在一些积分的计算结果中, 为此, 我们取用一系列符号来特指这个结果, 就像圆周率 $$, 自然常数 \(\mathrm{e}\) 一样.
欧拉-马歇若尼常数 $$
它来源于下面这个极限
\[ \gamma = \lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \left( \sum_{k=1}^n{\frac{1}{k}} \right) -\ln n \right] ,\]
我们先来证明上述极限是收敛的, 然后再来研究这个常数在解题中的应用.
证明
取
\[a_n=\left( \sum_{k=1}^n{\frac{1}{k}} \right) -\ln n,\]
下面证明 \(a_n\) 单调, 由于
\[ \begin{align*} a_n-a_{n-1}&=\left( \sum_{k=1}^n{\frac{1}{k}} \right) -\ln n-\left( \sum_{k=1}^{n-1}{\frac{1}{k}} \right) +\ln \left( n-1 \right) \\&=\frac{1}{n}+\ln \left( 1-\frac{1}{n} \right) , \end{align*} \]
利用不等式
\[x>0\Rightarrow x>\ln \left( 1+x \right) ,\]
有
\[ \begin{align*} a_n-a_{n-1} & =\frac{1}{n}+\ln \left( 1-\frac{1}{n} \right) \\&>\ln \left( 1+\frac{1}{n} \right) +\ln \left( 1-\frac{1}{n} \right) \\ & = \ln \left( 1-\frac{1}{n^2} \right) <\ln 1=0, \end{align*} \]
所以 \(a_n\) 单调递减, 再来证明 \(a_n\) 有下界, 考虑下式
\[\ln n=\ln \frac{2}{1}+\ln \frac{3}{2}+\cdots +\ln \frac{n}{n-1}=\sum_{k=1}^n{\ln \frac{k+1}{k}}=\sum_{k=1}^n{\ln \left( 1+\frac{1}{k} \right)},\]
于是
\[a_n=\sum_{k=1}^n{\frac{1}{k}}-\sum_{k=1}^n{\ln \left( 1+\frac{1}{k} \right)}=\sum_{k=1}^n{\left[ \frac{1}{k}-\ln \left( 1+\frac{1}{k} \right) \right]},\]
仍利用不等式
\[x>0\Rightarrow x>\ln \left( 1+x \right) ,\]
立即有
\[\frac{1}{k}-\ln \left( 1+\frac{1}{k} \right) >0\Rightarrow a_n>0,\]
从而 \(a_n\) 单调递减, 且有下界 \(0\) , 进而 \(a_n\) 收敛, 将这一结果记作 $$ . 即
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \sum_{k=1}^n{\frac{1}{k}-\ln n} \right] =\gamma .\]
应用
求极限
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) .\]
解析 置
\[H\left( n \right) =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n},\]
则 \[H\left( 2n \right) =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{2n},\]
于是
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) =\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ H\left( 2n \right) -H\left( n \right) \right] ,\]
前面已经证明过,
\[\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ H\left( n \right) -\ln n \right] =\gamma ,\]
这表明, $H( n ) -n=+o( 1 ) , o( 1 ) $指 \(1\) 的高阶无穷小. 从而
\[ \begin{align*} &\lim_{n\rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n} \right) =\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ H\left( 2n \right) -H\left( n \right) \right] \\&=\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \left( \ln 2n+\gamma +o\left( 1 \right) \right) -\left( \ln n+\gamma +o\left( 1 \right) \right) \right] \\&=\lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \left( \ln 2n-\ln n \right) +\left( \gamma -\gamma \right) \right] \\&=\ln 2. \end{align*} \]