高考范围内有这样一类题目，即给出一抽象函数\(f(x)\)，并通过一系列条件结合奇偶性来帮助我们确定其周期和对称轴。例如给出\(f(x)=f(x+2)\)就表明\(f(x)\)存在周期2，此类题目一般的做法是，通过对已知条件的不断转化，最后构造出周期条件“\(f(x)=f(x+T)\)”和对称轴条件“\(f(a-x)=f(a+x)\)”，然后去解决相关问题。
但实际上，这样的做法比较复杂，特别是2022年新高考1卷中的第12题，它不但涉及到上面所提到的转化过程，而且涉及到抽象函数的导数与奇偶性问题。这里，我们将介绍一种技巧，它能够帮助我们解决这一类问题。
这是常用积分常数系列的第一期. 常用积分常数, 指的是对于一些定积分, 其结果收敛于某一个常数, 但是我们不能像 \(\sqrt{2},\displaystyle \frac{4}{3}\) 这样把它表示出来, 但是它们偏偏经常出现在一些积分的计算结果中, 为此, 我们取用一系列符号来特指这个结果, 就像圆周率 $$, 自然常数 \(\mathrm{e}\) 一样.
此题为一道反常积分的计算题, 由于被积函数中含有反三角函数 \(\arctan x\), 致使难以求出被积函数的原函数, 从而使用N-L公式, 代入上下限求解出积分值的做法并不容易. 这里, 我们采用逆用N-L公式的做法, 将\(\arctan x\)视作积分之后的结果, 进而还原成\(1/(1+x^2)\), 这样对后续的积分是方便的.
实际上, 对于一般的一阶常微分方程, 往往是初等解法无法求解或者不存在解析解的, 因此, 我们只介绍一些特殊的, 形式更为简单的一阶常微分方程的解法, 这是本文关注的重点, 至于相关的例题, 这里略去, 所以实际上本文主要是起到一个帮助复习的作用.
