一阶常微分方程的基本解法

实际上, 对于一般的一阶常微分方程, 往往是初等解法无法求解或者不存在解析解的, 因此, 我们只介绍一些特殊的, 形式更为简单的一阶常微分方程的解法, 这是本文关注的重点, 至于相关的例题, 这里略去, 所以实际上本文主要是起到一个帮助复习的作用.

1.1 分离变量法

对于一阶常微分方程 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left( x,y \right), \] 若$f\left( x,y \right)$可以写成 \[ f\left( x,y \right) =\varphi \left( x \right) \psi \left( y \right) \]

的形式(即$( x ) $和$( y ) $分别仅是关于$x,y$的函数), 则 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi \left( x \right) \psi \left( y \right) \Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\psi \left( y \right)}=\varphi \left( x \right) \mathrm{d}x, \]

两边积分, 得 \[ \int{\frac{\mathrm{d}y}{\psi \left( y \right)}}=\int{\varphi \left( x \right) \mathrm{d}x}+C, \]

其中$C$为积分常数. 这样就得到了相应微分方程的解. 特别地, 对于上式, 可以看作确定了隐函数关系$F\left( x,y,C \right) =0$, 毕竟不是每个能够分离变量的方程都能具体写成显函数$y=y( x ) $的形式.

1.2 一阶线性常微分方程

其基本形式如 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left( x \right) y=Q\left( x \right), \] 特别当$Q\left( x \right) \equiv 0$时, 上式变为可分离变量形式, 运用§1.1中的办法就可以求解, 即视 \[ f\left( x,y \right) =-P\left( x \right) y\Rightarrow \varphi \left( x \right) =-P\left( x \right) ,\psi \left( y \right) =y. \]

在本节中, $ Q( x ) $一般不恒为零, 这时往往采用 ”常数变易法” 来处理, 它最早是由拉格朗日所提出. 其思路是, 对于 $ Q( x ) =0 $, 即

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left( x \right) y=0 \]

的情形, 采用分离变量法, 即

\[ \begin{align*}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left( x \right) y=0\\\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{y}=-P\left( x \right) \mathrm{d}x\\\Rightarrow \int{\frac{\mathrm{d}y}{y}}=-\int{P\left( x \right) \mathrm{d}x}+C\\\Rightarrow \ln \left| y \right|=-\int{P\left( x \right) \mathrm{d}x}+C\\\Rightarrow y=\pm \mathrm{e}^{-\int{P\left( x \right) \mathrm{d}x}+C}=\pm \mathrm{e}^C\cdot \mathrm{e}^{-\int{P\left( x \right) \mathrm{d}x}}\\\Rightarrow y=C'\mathrm{e}^{-\int{P\left( x \right) \mathrm{d}x}} \end{align*}, \]

这里最后一步我们用$C'$这个新的常数代替了$\pm \mathrm{e}^C$, 因为它们都是常数. 下面就是常数变易法的内容, 即将$C'$这个常数, 变易为一个函数$u( x ) $, 并假定原先的微分方程

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left( x \right) y=Q\left( x \right) \]

的通解为$y=u\left( x \right) \cdot \mathrm{e}^{-\int{P\left( x \right) \mathrm{d}x}}$, 接着把这个预设出来的解代入到上面的方程中, 有

\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ u\mathrm{e}^{-\int{P\mathrm{d}x}} \right] +P\cdot u\mathrm{e}^{-\int{P\mathrm{d}x}}=Q\left( x \right), \]

这里$u$, $P$都是$u( x ) $, $P( x ) $的简写. 整理有

\[ u'\mathrm{e}^{-\int{P\mathrm{d}x}}+u\cdot \mathrm{e}^{-\int{P\mathrm{d}x}}\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left( -\int{P\mathrm{d}x} \right) +P\cdot u\mathrm{e}^{-\int{P\mathrm{d}x}}=Q\left( x \right), \]

其中$( - ) $相当于积分之后又求导, 相当于$P$什么都没变, 即结果为$-P$. 上式就写成 \[ u'\mathrm{e}^{-\int{P\mathrm{d}x}}-Pu\cdot \mathrm{e}^{-\int{P\mathrm{d}x}}+P\cdot u\mathrm{e}^{-\int{P\mathrm{d}x}}=Q\left( x \right), \]

后两项是互为相反数的, 最后只剩下 \[ u'\mathrm{e}^{-\int{P\mathrm{d}x}}=Q\left( x \right) \Leftrightarrow u'=Q\left( x \right) \mathrm{e}^{\int{P\mathrm{d}x}}\Rightarrow u\left( x \right) =\int{Q\left( x \right) \mathrm{e}^{\int{P\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x}+A, \]

$A$为积分常数. 因此, 按照我们的假设, 原微分方程的解就是 \[ y=\left[ \int{Q\left( x \right) \mathrm{e}^{\int{P\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x}+A \right] \cdot \mathrm{e}^{-\int{P\left( x \right) \mathrm{d}x}}. \]

“常数变易法” 一词中, “变” 是变换, “易” 也有交换的意思, 也就是说, 通过将齐次微分方程中的常数替换成一个未知函数, 并且代入非齐次方程中反过来确定这个未知函数的方法, 就是常数变易法. 类似于常用的待定系数法的思想. 不过, 在实际去解这样的方程时, 我们不可能按照这个思路从头到尾来一遍, 这样是十分繁琐的, 而通解的形式又不容易记忆, 那该怎么办呢? 实际上, 对于通解, 我们可以拆分成两个部分, 只需要记住两个部分的计算方法, 最后合起来就是通解的结果. 哪两个部分呢?

考虑记 \[ v\left( x \right) =\mathrm{e}^{\int{P\left( x \right) \mathrm{d}x}}, \]

首先计算出$v( x ) $, 但是这个结果不要附加积分常数$c$, 接下来计算 \[ \int{v\left( x \right) Q\left( x \right) \mathrm{d}x}, \]

这个结果附加积分常数$A$, 然后立即有通解 \[ y=\frac{\int{v\left( x \right) Q\left( x \right) \mathrm{d}x}+A}{v\left( x \right)}, \]

另外可能存在歧义的地方在于, 其他参考资料对于方程的形式书写并不一致, 这里我是写成 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left( x \right) y=Q\left( x \right) , \]

而有些是写作 \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=P\left( x \right) y+Q\left( x \right) ,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P\left( x \right) y+Q\left( x \right) =0, \]

这就引起最后的结果形式并不一致, 所以在用通解公式时, 一定要将原方程凑成和通解公式所要求的形式, 从而确定$P( x ) ,Q( x ) $,最后再代入.