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例题

已知质量为\(m\)的摆锤挂在轻弹簧上, 弹簧一端固定, 如图所示, 弹簧原长为\(l_0\), 劲度系数为\(k\). 求此弹簧摆的振动方程.

解析

取弹簧和摆锤为系统, 自由度\(s=2\), 选择\(r\),\(\theta\)为广义坐标. 以弹簧为转动参考系, 那么摆锤的速度\(\vec{v}\)可以表示为

\[ \vec{v}=\dot{r}\vec{e}_r+r\dot{\theta}\vec{k}, \]

其中\(\vec{e}_r\)是沿\(r\)向外的单位矢量, 而\(\vec{k}\)为垂直于纸面向外的一单位矢量. 这两个矢量是正交的, 从而摆锤的速度大小应满足

\[ v^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2, \]

对于轻弹簧, 我们不考虑其质量, 则系统动能

\[ T=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2). \]

对于重力势能, 取坐标原点\(O\)为重力势能零点, 同时, 系统的势能总共有两部分: 一是摆锤所具有的重力势能, 二是弹簧所具有的弹性势能, 因此综合起来, 系统的势能

\[ V=-mgr \mathrm{cos\theta} +\frac{1}{2}k\left( r-l_0\right)^2, \]

作Lagrange函数

\[ L=T-V=\frac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+mgr \mathrm{cos\theta} -\frac{1}{2}k\left( r-l_0\right)^2, \]

可知

\[ \begin{align*} \frac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial r} \right) =m\ddot{r},\frac{\partial L}{\partial r}=mr\dot{\theta}^2+mg\cos \theta -k\left( r-l_0 \right) , \\ \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta},\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) =m\left( 2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta} \right) ,\frac{\partial L}{\partial \theta}=-mgr\sin \theta . \end{align*} \]

代入到保守系拉格朗日方程中, 立得

\[ \begin{cases} m\ddot{r}-mr\dot{\theta}^2-mg\cos \theta +k\left( r-l_0 \right) =0,\\ m\left( 2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta} \right) +mgr\sin \theta =0,\\ \end{cases} \]

消去整理, 得

\[ \begin{cases} \ddot{r}-r\dot{\theta}^2-g\cos \theta +\frac{k}{m}\left( r-l_0 \right) =0\\ r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}+g\sin \theta =0\\ \end{cases} .\]

这就是弹簧摆的振动方程.